0.0.0.2 解答

(1)

$$\rot\Vector{f} =\det\left( \begin{array}{ccc} \frac{\rd}{\rd x} &... ...}{\rd x}-\dfrac{\rd f_1}{\rd y}} =\threevector{1-(-1)}{0-0}{2x-2x}=\Vector{0}.$$

(2) $\Vector{f}$ の定義域 $\R^3$ は単連結であり、 (1) で確かめたように $\rot\Vector{f}=\Vector{0}$ であるから、 $\Vector{f}$ はポテンシャルを持つ。原点から $\Vector{x}=\threevector{x} {y}{z}$ に向かう有向線分を $C_{\Vector{x}}$ として、

$$F(\Vector{x}):=\int_{C_{\Vector{x}}}\Vector{f}\cdot\D\Vector{r}$$

とおくと、$F$ は $\Vector{f}$ のポテンシャルとなる。

$C_{\Vector{x}}$ のパラメーターづけとして、 $\Vector{\varphi}(t)=t\Vector{x}=\threevector{tx}{ty}{tz}$ ($t\in[0,1]$) が取れる。

$$\Vector{f}(\Vector{\varphi}(t))=\Vector{f}(tx,ty,tz) =\threevecto... ...ector{2t^2xy}{t^2x^2-tz}{-ty},\quad \Vector{\varphi}'(t)=\threevector{x}{y}{z}$$

であるから、

$$\Vector{f}(\Vector{\varphi}(t))\cdot\Vector{\varphi}'(t) =2t^2xy\cdot x+(t^2x^2-tz)\cdot y+(-ty)\cdot z =3t^2x^2y-2tyz.$$

ゆえに

$$F(\Vector{x})=\int_0^1 (3t^2x^2y-2tyz)\D t =\left[t^3\right]_0^1 x^2y-\left[t^2\right]_0^1 yz =x^2y-y z.$$

(論理的には必要ないが、計算のチェックをかねて、 $\nabla F$ が $\Vector{f}$ に一致することを確かめるとよい。)
(3) $\Vector{f}$ はポテンシャル $F$ を持つので、

$$\int_{C}\Vector{f}\cdot\D\Vector{r} =F($$終点$$)-F($$始点$$) =F(3,3,1)-F(1,1,1)=(3^2\cdot3-3\cdot1)-(1^2\cdot1-1\cdot1)=27-3=24. \qed$$