0.0.0.2 解説

接線線積分の定義の式は、

$$\int_{C}\Vector{f}\cdot\D\Vector{r}=\int_{\alpha}^\beta \Vector{f}(\Vector{\varphi}(t))\cdot\Vector{\varphi}'(t)\;\D t$$

である (ただし $C$ は $\Vector{r}=\Vector{\varphi}(t)$ ( $t\in[\alpha, \beta]$) であるとする)。これに「代入」するだけである。 ただ諸君の解答を見ていておぼつかない人もいるので、 一つの流れを提示しておく (本当は計算の仕方を固定する理由はないし、 害もありうるのであるが、 「臨機応変」なんて言っていると取っ掛かりがないだろうから)。

(i)

$\Vector{f}(x,y)$ に $x=\varphi_1(t)$, $y=\varphi_2(t)$ を 代入して、$t$ の関数 $\Vector{f}(\Vector{\varphi}(t)) =\Vector{f}(\varphi_1(t),\varphi_2(t))$ を得る。

(ii)

$\Vector{\varphi}'(t)=\twovector{\varphi_1'(t)}{\varphi_2'(t)}$ を計算する。

(iii)

上の2つのベクトルの内積 $\Vector{f}(\Vector{\varphi}(t)) \cdot\Vector{\varphi}'(t)$ を計算する。

(iv)

$t$ について $\alpha$ から $\beta$ まで積分する。