0.0.0.3 解答

(1) まず、

$$x=a r\sin\theta\cos\phi,\quad y=b r\sin\theta\sin\phi,\quad z=c r\cos\theta$$

であるから、ヤコビ行列は

$$\left( \begin{array}{ccc} x_r & x_\theta & x_\phi \\ y_r & y_\th... ... r\sin\theta\cos\phi \\ c \cos\theta & -c r\sin\theta & 0 \end{array}\right).$$

ヤコビアンはこの行列の行列式で

$$\dfrac{\rd(x,y,z)}{\rd(r,\theta,\phi)} =\det \left( \begin{array}{ccc} x_r & x_\theta & x_\phi \\ y_r & ... ... b r\sin\theta\cos\phi \\ c \cos\theta & -c r\sin\theta & 0 \end{array} \right)$$

$$=a b c \det \left( \begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & r\cos\... ...phi & r\sin\theta\cos\phi \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{array} \right).$$

最後の $\det$ は通常の極座標変換のヤコビアンと同じ式であるから、 値は $r^2\sin\theta$. ゆえに

$$\dfrac{\rd(x,y,z)}{\rd(r,\theta,\phi)}=a b c r^2\sin\theta.$$

(2) (楕円で似たことをやったが)

$$(x,y,z)\in\Omega \LongIff \left(\dfrac{x}{a}\right)^2+\left(\dfrac{y}{b}\right)^2 +\left(\dfrac{z}{c}\right)^2\le 1$$

$$\LongIff (r\sin\theta\cos\phi)^2+(r\sin\theta\sin\phi)^2+(r\cos\theta)^2\le 1$$

$$\LongIff r^2\le 1$$

であるから、通常の $r$, $\theta$, $\phi$ の条件 ($r\ge 0$, $0\le\theta\le\pi$, $0\le\phi\le 2\pi$) に新たに加わる のは $\vert r\vert\le 1$ だけである。よって、$\Omega$ に対応するのは

$$D:=\{(r,\theta,\phi); 0\le r\le 1, 0\le\theta\le\pi, 0\le\phi\le 2\pi \}.$$

また (1) の結果から、

$$\DxDyDz=\left\vert abc r^2\sin\theta\right\vert\D r \D\theta \D\phi =a b c r^2\sin\theta\;\D r \D\theta \D\phi.$$

ゆえに

$$m_3(\Omega) =\tint_\Omega \DxDyDz =\tint_D 1\cdot a b c r^2\sin\theta\;\D r\... ..._0^\pi \left(\int_0^{2\pi}abc r^2\sin\theta\;\D\phi\right) \D\theta \right)\D r$$

$$=a b c\int_0^1 r^2\;\D r\int_0^\pi\sin\theta\;\D\theta\int_0^{2\pi}\D\phi =a b c \cdot\frac{1}{3}\cdot 2\cdot 2\pi=\frac{4}{3}\pi a b c.$$

余談であるが、$a=b=c=R$ とすると、よく知っている球の体積 $\dfrac{4}{3}\pi R^3$ に一致する (当然)。

(3) $z\ge 0$ に対応するのは $0\le\theta\le\pi/2$ である¹。 ゆえに $\Omega_1$ に対応するのは

$$D_1:=\{(r,\theta,\phi); 0\le r\le 1, 0\le\theta\le \pi/2, 0\le\phi\le2\pi\}.$$

$y\ge 0$ に対応するのは $0\le\phi\le\pi$ である²。 ゆえに $\Omega_2$ に対応するのは

$$D_2:=\{(r,\theta,\phi); 0\le r\le 1,\ 0\le\theta\le \pi,\ 0\le\phi\le\pi\}.$$

$x\ge 0$ に対応するのは、 $0\le\phi\le\pi/2$ または $3\pi/2\le\phi\le 2\pi$ である³。 ゆえに $\Omega_3$ に対応するのは

$$D_3:=\{(r,\theta,\phi); 0\le r\le 1, 0\le\theta\le \pi, \phi\in[0,\pi/2]\cup[3\pi/2,2\pi]\}.$$

あるいは (通常と違って $\phi$ を 0 から測ることをやめて)

$$D_3'=\{(r,\theta,\phi); 0\le r\le 1, 0\le\theta\le \pi, -\pi/2\le\phi\le\pi/2\}.$$

$\Omega_4$ は $\Omega_1$, $\Omega_2$, $\Omega_3$ の共通部分であるから、

$$D_4:=\{(r,\theta,\phi); 0\le r\le 1, 0\le\theta\le \pi/2, 0\le\phi\le\pi/2\}$$

が対応する。

なお、 $m_3(\Omega_1)=m_3(\Omega_2)=m_3(\Omega_3)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\pi abc=\dfrac{2}{3}\pi abc$, $m(\Omega_4)=\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{4}{3}\pi abc=\dfrac{1}{6}\pi a bc$.