0.0.0.3 1の解答

$x=a r\cos\theta$, $y=b r\sin\theta$ ($r\ge 0$, $0\le\theta\le2\pi$) と変数変換する。

$$(x,y)\in\Omega \quad\LongIff\quad (x/a)^2+(y/b)^2\le 1\quad\LongIff\quad (r\cos\theta)^2+(r\sin\theta^2)\le1 \quad\LongIff\quad r\le 1.$$

ゆえに $\Omega$ と対応するのは $D=\{(r,\theta);0\le r\le 1, 0\le\theta\le2\pi\}$. ヤコビアンは

$$\frac{\rd(x,y)}{\rd(r,\theta)}= \det \left( \begin{array}{cc} x_r... ...ay}\right) =a\cos\theta\cdot br\cos\theta-(-ar\sin\theta)\cdot b\sin\theta=abr$$

となるので、 $\DxDy=\left\vert\dfrac{\rd(x,y)}{\rd(r,\theta)}\right\vert\D r \D\theta =abr\;\D r \D\theta$.

$$I=\dint_{D}(a r \cos\theta)^2\cdot a b r\;\D r \D\theta =a^3 b\i... ...\;\D\theta =a^3 b\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{2\pi}{2}=\frac{\pi a^3 b}{4}. \qed$$