3.2.2 新しい関数を用いた解法

ここで、$v(x,t)$、$w(x,t)$ という関数を次のように定義する。

$$\frac{\rd u}{\rd t}(x,t) = v(x,t)$$

$$\frac{\rd u}{\rd x}(x,t) = w(x,t) \mbox{($0\le x\le 1$, $t≧0$)}$$

この２つの関数を用いて次の初期値境界値問題($1$)を導く。

$$\left\{\begin{array}{lll} \dsp\frac{\rd }{\rd t}\left(\begin{arra... ...,t)&=& \dsp\frac{\rd }{\rd x}w(1,t)=0\qquad\qquad\ \ (t>0). \end{array}\right .$$ (3.1)

問題($1$)を差分法で解く。
区間[0,1]をN等分する。 $h=\dsp\frac{1}{N}$, 時間ステップを$\tau$として、 各格子点$x_{i}=ih$ 時刻 $t_{j}=j\tau$とする。また、

$$U=\left(\begin{array}{c} v \\ w \end{array}\right)\qquad U_{i,j}... ...{array}\right)\qquad A= \left[\begin{array}{ccc} 0&1\\ 1&0 \end{array}\right]$$

とする。ここで、フリードリクス（Friedrichs）の差分法を採用する。

フリードリクス（Friedrichs）の差分法とは、

$$\dsp\frac{\rd U}{\rd t}(x_{i},t_{j}) ≒\frac{U_{i,j+1}-\dsp\frac{1}{2}(U_{i+1,j}+U_{i-1,j})}{\tau}$$

と近似し、         $\dsp\frac{\rd U}{\rd x}(x_{i},t_{j})$ を中心差分商 $\dsp\frac{U_{i+1,j}-U_{i-1,j}}{2h}$ で近似する方法である。

($☆$)の式を、フリードリクス（Friedrichs）の差分法で離散化すると、

$$\frac{U_{i,j+1}-\frac{1}{2}(U_{i+1,j}+U_{i-1,j})}{\tau}= A\frac{U_{i+1,j}-U_{i-1,j}}{2h}\qquad(0<i<N,\ \ j=0,1,2,\ldots).$$

ここで $\lambda=\dsp\frac{\tau}{h}$, $I$を２次の単位行列とすると、

$$U_{i,j+1}=\frac{1}{2}(I+\lambda A)U_{i+1,j}+ \frac{1}{2}(I-\lambda A)U_{i-1,j}\qquad(0<i<N,\ \ j=0,1,2,\ldots)$$

これを成分表示で書くと、

$$v_{i,j+1}= \frac{1}{2}\{(v_{i+1,j}+v_{i-1,j})+\lambda(w_{i+1,j}-w_{i-1,j})\},$$ (3.2)

$$w_{i,j+1}= \frac{1}{2}\{\lambda(v_{i+1,j}-v_{i-1,j})+(w_{i+1,j}+w_{i-1,j})\}$$ (3.3)

$$\mbox{($0<i<N$, $j=0,1,2,\ldots$).}$$

初期条件、境界条件については次のように行なう。

$$v_{i,0} = \psi(ih)\qquad \ \mbox{($0\le i\le N$)}$$

$$w_{i,0} = \varphi'(ih)\qquad\ \mbox{($0\le i\le N$)}$$

$$v_{0,j} = v_{N,j}=0\qquad(j=1,2,\ldots)$$

. 次に$w_{0,j+1}$ $(j=0,1,2,\ldots)$について考察する。

$$\dsp\frac{\rd }{\rd x}w(0,t)= \dsp\frac{\rd^2 }{\rd x^2}u(0,t)= \dsp\frac{\rd^2 }{\rd t^2}u(0,t)=\dsp\frac{\rd }{\rd t}v(0,t)=0$$

なので、仮想格子点 $x_{-1}$を導入し $\dsp\frac{\rd }{\rd x}w(0,t_{j})$を中心差分商で近似する。

$$\dsp\frac{\rd }{\rd x}w(0,t_{j})≒\frac{w_{1,j}-w_{-1,j}}{2h}=0.$$

より,

$$w_{-1,j}=w_{1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots).$$

そこで、($2$), ($3$)の式に $i=0$で用いると

$$v_{0,j+1}=\frac{1}{2}\{(v_{1,j}+v_{-1,j})+\lambda(w_{1,j}-w_{-1,j})\}$$

$$w_{0,j+1}=\frac{1}{2}\{\lambda(v_{1,j}-v_{-1,j})+(w_{1,j}+w_{-1,j})\}$$

$$\qquad(j=0,1,2,\ldots).$$

上の式に $w_{-1,j}=w_{1,j}$, $v_{0,j+1}=0$を代入すると、

$$0=\frac{1}{2}\{(v_{1,j}+v_{-1,j})+\lambda$$・$$0\}$$

より、

$$v_{-1,j}=-v_{1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots).$$

ゆえに、

$$w_{0,j+1}=\frac{1}{2}\{\lambda(v_{1,j}-v_{-1,j})+(w_{1,j}+w_{-1,j})\}= \lambda v_{1,j}+w_{1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots)$$

同様に $w_{N,j+1}$ ( $j=0,1,2,\ldots$) についても行なう。

$$\dsp\frac{\rd }{\rd x}w(1,t)=\dsp\frac{\rd^2 }{\rd x^2}u(1,t)= \dsp\frac{\rd^2 }{\rd t^2}u(1,t)=\dsp\frac{\rd }{\rd t}v(1,t)=0$$

なので、仮想格子点 $x_{N+1}$を導入し $\dsp\frac{\rd }{\rd x}w(1,t_{j})$ を中心差分商で近似する。

$$\dsp\frac{\rd }{\rd x}w(1,t_{j})≒\frac{w_{N+1,j}-w_{N-1,j}}{2h}=0$$

より,

$$w_{N-1,j}=w_{N+1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots).$$

そこで、($2$), ($3$)の式に $i=N$で用いると

$$v_{N,j+1}=\frac{1}{2}\{(v_{N+1,j}+v_{N-1,j})+\lambda(w_{N+1,j}-w_{N-1,j})\}$$

$$w_{N,j+1}=\frac{1}{2}\{\lambda(v_{N+1,j}-v_{N-1,j})+(w_{N+1,j}+w_{N-1,j})\}$$

$$\qquad(j=0,1,2,\ldots).$$

上の式に $w_{N-1,j}=w_{N+1,j}$, $v_{N,j+1}=0$を代入すると、

$$0=\frac{1}{2}\{(v_{N+1,j}+v_{N-1,j})+\lambda$$・$$0\}$$

より、

$$v_{N+1,j}=-v_{N-1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots)$$

ゆえに、

$$w_{N,j+1}=\frac{1}{2}\{\lambda(v_{N+1,j}-v_{N-1,j})+(w_{N+1,j}+w_{N-1,j})\}= -\lambda v_{N-1,j}+w_{N-1,j}\qquad(j=0,1,2,\ldots).$$

と表せる。

($1$)の問題で求めたのは、$v_{i,j}$, $w_{i,j}$ ( $0\le i\le N$, $j=0,1,2,\ldots$)である。 そこで($A$)で求めたい解を $u_{i,j}$ ( $0\le i\le N$, $j=0,1,2,\ldots$) とすると、$u_{i,j}$は、次の式で求められる。

$$\left\{\begin{array}{lll} u_{i,j+1}&=&\dsp\frac{1}{2}(u_{i+1,j}+u... ...}&=&u_{N,j}=0\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ (j=0,1,2,\ldots). \end{array}\right .$$