2.5 付録2: 三角関数についてのメモ

$z=x+iy$ ($x$, $y\in\R$) とするとき、

$$\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} =\frac{e^{i(x+iy)}-e^{-i(x+iy)}}{2i} =\frac{1}{2i}(e^{-y}e^{ix}-e^{y}e^{-ix})$$

$$= \frac{1}{2i}[e^{-y}(\cos x+i\sin x)-e^y(\cos x-i\sin x)]$$

$$= \frac{-i}{2}[(e^{-y}-e^y)\cos x+i(e^{-y}+e^y)\sin x]$$

$$= \frac{e^y+e^{-y}}{2}\sin x+i\frac{e^y-e^{-y}}{2}\cos x$$

$$= \cosh y \sin x+i\sinh y \cos x.$$

これから

$$\vert\sin z\vert=$$   ごしょごしょ$$=\sqrt{\sinh^2 y+\sin^2x}.$$

ゆえに

$$\sin z=0\quad\Iff\quad \sinh y=\sin x=0\quad\Iff\quad y=0,\quad x\in \pi\Z \quad\Iff z\in \pi\Z.$$

もっとも $\sin z=0$ の解だけならば、次のようにする方が簡単である。

$$\sin z=0\quad\Iff\quad \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0 \quad\Iff\quad e^{2zi}=1 \quad\Iff\quad 2z\in 2\pi\Z \quad\Iff\quad z\in \pi\Z.$$

同様に

$$\cos z=0\quad\Iff\quad \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=0 \quad\Iff\quad ... ...i}=-1 \quad\Iff\quad 2z+\pi\in 2\pi\Z \quad\Iff\quad z\in \frac{\pi}{2}+\pi\Z.$$

与えられた複素数 $c$ に対して、方程式

$$\sin z=c$$

の解集合はどうなるか？

まず解が存在するかどうか考えよう。 $e^{iz}=\zeta$ とおくと、

$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\frac{\zeta-\zeta^{-1}}{2i}$$

であるから、$\sin z=c$ より

$$\frac{\zeta-\zeta^{-1}}{2i}=c.$$

これから

$$\zeta^2-2ic \zeta-1=0.$$

これは $\zeta$ に関する $2$ 次方程式であり、確かに解 $\zeta$ ($\ne 0$) が存在する。

すると、$z$ についての方程式

$$e^{iz}=\zeta$$

は $\zeta\ne 0$ であるから、確かに解が存在する。実際

$$e^{x+iy}=r e^{i\theta} \quad\Iff\quad e^x=r\$$   かつ$$\ e^{iy}=e^{i\theta} \quad\Iff \quad x=\log r\$$   かつ$$\ y\in\theta+2\pi\Z.$$

以上から $\sin z=c$ は必ず解を持つことが分かった。

次に解がどれくらいたくさんあるか調べよう。

$$\sin z=\sin z'=c$$

より

$$0=\sin z-\sin z'=2\cos\frac{z+z'}{2}\sin\frac{z-z'}{2}$$

となるから、

$$\frac{z+z'}{2}\in\frac{\pi}{2}+\pi\Z$$   or$$\quad \frac{z-z'}{2}\in\pi\Z.$$

すなわち

$$\exists n\in\Z$$   s.t.$$\quad z'=(\pi-z)+2n\pi$$   or$$\quad z'=z+2n\pi.$$

つまり、形だけは高校生も知っている恒等式

$$\sin(\pi-z)=\sin z,\quad \sin(z+2n\pi)=\sin z$$

から得られる解がすべてだと言うことが分かる。

以上分かったことをまとめておこう。