2.3.2 差分方程式

$u_{tt}=u_{xx}$ に対応する差分方程式として、

$$L[v]\DefEq \frac{v(x,t+k)-2v(x,t)+v(x,t-k)}{k^2} - \frac{v(x+h,t)-2v(x,t)+v(x-h,t)}{h^2} =0$$ (2.14)

を採用する。境界条件としては、

$$v(0,t)=v(1,t)=0,$$ (2.15)

初期条件としては

$$v(x,0)=f(x),\quad \frac{v(x,k)-v(x,-k)}{2k}=g(x)$$ (2.16)

を採用する。

$$\delta_t F(t)=F\left(\frac{t+k}{2}\right)-F\left(\frac{t-k}{2}\right),$$

$$\delta_x G(x)=G\left(\frac{x+h}{2}\right)-G\left(\frac{x-h}{2}\right)$$

によって、$1$ 階中心差分作用素 $\delta_t$, $\delta_x$ を定義すると、

$$(\delta_t)^2 F(t) =F(t+k)-2F(t)+F(t-k),\quad (\delta_x)^2 G(x) =G(x+h)-2G(x)+G(x-h)$$

となるので、

$$L[v]=\frac{1}{k^2}(\delta_t)^2-\frac{1}{h^2}(\delta_x)^2$$

となる。