4.5.2 QR 変換

$$A=Q R$$

という QR 分解が得られたとき、順番を変えて掛け算した行列 $A_1$ を作る。

$$A_1=R Q$$

これは $R=Q^\ast A$ より

$$A_1= Q^\ast A Q$$

となるので、実は $A$ を $Q$ で相似変換したものである。 これを QR 変換と言う。

行列 $A$ が与えられたとき、

$$A_0 = A=Q_0R_0, \quad A_1=R_0 Q_0,$$

$$A_1 = Q_1R_1, \quad A_2=R_1 Q_1,$$

$$A_2 = Q_2R_2, \quad A_3=R_2 Q_2,$$ (4.9)

$$\cdots$$

$$A_k = Q_kR_k, \quad A_{k+1}=R_k Q_k,$$

$$\cdots$$

と QR 変換を繰り返すと、$A_m$ の対角線の下側の成分はすべて $0$ に収束する。

一般性の追求はほどほどにして、次の定理を証明しよう。