Next: A.3.0.0.1 証明 Up: A. Strum の方法 Previous: A.2.0.0.1 証明

A.3 3重対角行列の固有多項式と Strum 列

$\begin{displaymath} T=\left( \begin{array}{ccccc} a_1 & b_1 & 0 & & \bigzerou... ...{N-1} \\ \bigzerol & & 0 & b_{N-1} & a_N \end{array} \right) \end{displaymath}$

を実対称三重対角行列とする。

$\begin{jremark}[対称性の仮定について]\upshape 実は以下の議論で $T$\ の対称性は.. ...④覆い錣韻如△泙��困弔い討�襦屬�泙院廚箸いΔ海箸任靴腓Α\qed \end{jremark}$

以下 $b_k\ne 0$ ( $k=1,2,\cdots,N-1$ ) と仮定する。もしあるに対してならば

$\begin{displaymath} T = \left(\begin{array}{cc}T' & O \\ O & T''\end{array}\right) \end{displaymath}$

とブロック分けでき、

の固有値を求める問題に帰着できるから、一般性は失われない。

$p_k(\lambda)$ を $\lambda I-T$ の第主座行列式とする ( $k=0,1,\cdots,N$ )。すなわち

(A.4)

$\begin{displaymath} p_k(\lambda)\DefEq \left\{ \begin{array}{ll} \det(\lambd... ...=1,2,\cdots,N$)}\\ 1 &\mbox{($k=0$)} \end{array} \right. . \end{displaymath}$

ただし、

$\begin{displaymath} I_k=\mbox{$k$\ 次の単位行列},\quad T_k=\left( \begin{arra... ...k-1} \\ \bigzerol & & 0 & b_{k-1} & a_k \end{array} \right). \end{displaymath}$

すぐ分かる命題を二つ。

$\begin{jlemma} % latex2html id marker 4908 [漸化式]\upshape (\ref{eq:pkの定義})... ...mbda) & = & \det(\lambda I-T). \end{array}\right. \end{displaymath}\end{jlemma}$

Next: A.3.0.0.1 証明 Up: A. Strum の方法 Previous: A.2.0.0.1 証明

Masashi Katsurada
平成17年6月2日