3.0.0.1 問題

$\fourvector{x}{y}{z}{w}\in\R^4$ に対して、次の式を満たす $\fourvector{r}{\theta_1}{\theta_2}{\theta_3}$ を $4$ 次元極 座標と呼ぶ:

$$\left\{ \begin{array}{lcl} x &= &r\cos\theta_1 \\ y &= &r\sin\th... ...\theta_2}{\theta_3}\in I:= [0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,\pi]\times[0,2\pi).$$

(1) $\left\{ \begin{array}{lcl} X &= &r\cos\theta_1 \\ Y &= &r\sin\theta_1\cos\theta_2 \\ u &= &r\sin\theta_1\sin\theta_2 \\ v &= &\theta_3 \end{array}\right.$ とすると、写像 $\fourvector{r}{\theta_1}{\theta_2}{\theta_3} \mapsto\fourvector{X}{Y}{u}{v}$ のヤコビアンは $r^2\sin\theta_1$ であることを示せ。
(2) $\left\{ \begin{array}{lcl} x &= & X \\ y &= & Y \\ z &= & u\cos v \\ w &= & u\sin v \end{array}\right.$ とするとき、写像 $\fourvector{X}{Y}{u}{v} \mapsto\fourvector{x}{y}{z}{w}$ のヤコビアンを求め、 $\fourvector{r}{\theta_1}{\theta_2}{\theta_3}\mapsto \fourvector{x}{y}{z}{w}$ のヤコビアンが $r^3\sin^2\theta_1\sin\theta_2$ であることを示せ。
(3) $4$ 次元単位球 $\{(x,y,z,w); x^2+y^2+z^2+w^2<1\}$ の $4$ 次 元 Jordan 測度を求めよ。