E..1.3 連続かつLipschitz条件を満たす場合の解の存在と一意性

$D:=[\alpha,\alpha+a]\times[\beta-b,\beta+b]$, $f\colon D\to\mathbb{R}$ は連続であるとする。 また、$f$ は $x$について Lipschitz条件を満たすとする。

$$(\exists L\in\mathbb{R})(\forall (t,x)\in D)(\forall (t,x')\in D) \quad \left\vert f(t,x)-f(t,y)\right\vert\le L\left\vert x-y\right\vert.$$

このとき、次の常微分方程式の初期値問題を考える。

$$x'(t)=f(t,x(t)) t\in[\alpha,\alpha+a]$$ (E.2)

$$x(\alpha)=\beta$$ (E.3)

$$M:=\max_{t\in[\alpha,\alpha+a]}\left\vert f(t,x)\right\vert, \quad \delta:=\min\left\{a,\frac{b}{M}\right\},$$

$$X:=\left\{\varphi\in C([\alpha,\alpha+\delta])\relmiddle\vert \left\vert\varphi(t)-\beta\right\vert\le M(t-\alpha). \right\}$$

とおくと、$X$ は $C([\alpha,\alpha+\delta];\mathbb{R})$ の閉集合である。 ゆえに $X$ は完備距離空間である。

写像 $T\colon X\to X$ を

$$(T x)(t):= \beta+\int_\alpha^t f(s,x(s))\,\D s$$   $$\mbox{($x\in X$, $t\in[\alpha,\alpha+a]$)}$$

で定義すると、

$$\vert T x(t)-T y(t)\vert=\vert\int_\alpha^t \left[f(s,x(s))-f(s,y(s))\right]\D s \vert \le L \vert t-\alpha\vert \max_{s}\vert x(s)-y(s)\vert,$$

$$\vert T^2 x(t)-T^2 y(t)\vert\le L\max_{s}\vert(T x)(s)-(T y)(s)\v... ...ha\vert \le \frac{(L \vert t-\alpha\vert)^2}{2} \max_{s}\vert x(s)-y(s)\vert,$$

以下帰納的に

$$\vert T^m x(t)-T^m y(t)\vert \le \frac{(L \vert t-\alpha\vert)^m... ...s}\vert x(s)-y(s)\vert. \le \frac{(L r')^m}{m!} \max_{s}\vert x(s)-y(s)\vert.$$

ゆえに

$$\left\Vert T^m x-T^m y\right\Vert\le\frac{(L r')^m}{m!}\left\Vert x-y\right\Vert.$$

十分大きな $m$ に対して、

$$\frac{(L r')^m}{m!}<1$$

となり、 $T^m\colon X\to X$ は縮小写像になっている。 ゆえに定理F.3 により、 $T$ は $X$ で一意的な不動点 $x$ を持つ:

$$T x=x.$$

すなわち

$$x(t)=\beta+\int_\alpha^t f(s,x(s))\,\D s$$   ( $t\in[\alpha,\alpha+\delta]$)$$. \qed$$