E..1.1 Banach空間 $C([a,b];\mathbb{R})$

$a,b\in\mathbb{R}$, $a<b$ とするとき、$I=[a,b]$ とおく。 $[a,b]$ 上の実数値連続関数の全体を $C([a,b];\mathbb{R})$ と表す。

$f,g\in C([a,b];\mathbb{R})$ について、和 $f+g\colon I\to\mathbb{R}$ を

$$(f+g)(x):=f(x)+g(x)$$   ($x\in I$)

で、また $f\in C([a,b];\mathbb{R})$, $c\in\mathbb{R}$ について積 $cf\colon I\to\mathbb{R}$ を

$$(cf)(c):=c f(x)$$   ($x\in I$)

で定めると、 $f+g, cf\in C([a,b];\mathbb{R})$ が成り立ち、 $C([a,b];\mathbb{R})$ は $\mathbb{R}$上の線形空間になる。また $f\in C([a,b];\mathbb{R})$ に対して

$$\left\Vert f\right\Vert:=\max_{x\in[a,b]}\left\vert f(x)\right\vert$$

とおくと、 $\left\Vert\cdot\right\Vert$ は $C([a,b];\mathbb{R})$ 上のノルムとなる。 また $C([a,b];\mathbb{R})$ はそのノルムにより Banach 空間となる。 Banach 空間は距離空間として完備である。