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目次
常微分方程式を学ぶ
-- 基礎の学習と数値シミュレーション --
桂田 祐史
Date:
2022年3月9日, 2024年2月18日
https://m-katsurada.sakura.ne.jp/labo/text/ode-workbook.pdf
https://m-katsurada.sakura.ne.jp/labo/text/ode-workbook/
(PDFを正式版とする。HTML版はあちこちで組版がおかしくなっているが、 プログラム例をコピペするときは HTML 版の方が便利なので、両方公開する次第。)
目次
1
はじめに
2
マルサスMalthus の法則
2
.
1
Malthusのモデルの微分方程式
2
.
2
一般解
2
.
2
.
0
.
1
(解説)
2
.
3
方程式の表す現象を考える
2
.
3
.
0
.
1
指数関数についての算数的な問題
2
.
3
.
0
.
2
Cf. 時定数
2
.
4
初期値問題の解
2
.
4
.
0
.
1
証明1
2
.
4
.
0
.
2
証明2
2
.
4
.
0
.
3
証明3
2
.
5
数値解法 -- Euler法とRunge-Kutta法
2
.
5
.
1
Euler法
2
.
5
.
2
Runge-Kutta法
3
logistic 方程式
3
.
1
Malthusのモデルの修正としての logistic 方程式
3
.
2
初期値問題の解
3
.
3
解の漸近挙動, 平衡点とその安定性
4
単振動の方程式
4
.
1
単振動の方程式とは
4
.
2
単振動の方程式の解
4
.
3
1階正規形方程式への帰着
4
.
4
力学系とは
4
.
5
Python, Julia で数値計算
5
Lotka-Volterraの方程式 (捕食者被食者の数理モデル)
5
.
1
Lotka-Volterra方程式の勉強のススメ
5
.
2
Lotka-Volterra方程式
5
.
3
まずは数値シミュレーション
5
.
4
解を求めて … まず局所解の存在と一意性
5
.
5
平衡点とその安定性
5
.
6
解軌道の方程式, 解が
全体に延長できることと中立安定性の証明
5
.
7
解の周期性
5
.
8
解の平均値
5
.
9
1つのルーツの紹介: D'Ancona の疑問と Volterraの回答
5
.
10
Lotka-Volterra 方程式に続いて -- 生物の競争系のモデル
5
.
10
.
1
競争系とは
5
.
10
.
2
2種競争系 -- Lotka-Volterra competition model
5
.
10
.
3
3種競争系 -- May-Leonardのモデル
5
.
10
.
4
魚種交替
6
SIRモデル
6
.
1
感染症の数理モデルとしての SIR モデル
6
.
2
数値シミュレーション
6
.
3
数学的解析 (1)
6
.
4
数学的解析 (2) 無次元化と基本再生産数
7
挑戦課題
7
.
1
三種競争系
7
.
2
渦糸の力学系
7
.
3
メトロノームの同期現象
8
参考書案内
A. 問題の解答
B. 常微分方程式の初期値問題の数値シミュレーションの手引き
B..
1
はじめに
B..
2
Python によるシミュレーション
B..
2
.
1
Malthus モデル
B..
2
.
1
.
1
odeint() の利用
B..
2
.
1
.
2
solve_ivp() の利用
B..
2
.
2
単振動の方程式
B..
3
Julia によるシミュレーション
B..
3
.
1
Juliaのインストール＆使い方
B..
3
.
2
Malthus モデル
B..
3
.
3
単振動の方程式
C. 定数係数線形同次常微分方程式に対する特性根の方法 (素朴な説明)
C..
1
とりあえず要点を学ぶ
C..
2
基本的な定理の証明
C..
2
.
1
定義と例
C..
2
.
2
特性方程式, 特性根
C..
2
.
3
相異なる特性根を持つ場合
C..
2
.
3
.
1
[任意の解は
,
の
次結合で書ける]
C..
2
.
3
.
2
[
,
の
次独立性]
C..
2
.
4
特性根が重根である場合
C..
2
.
4
.
1
[任意の解は
,
の
次結合で書ける]
C..
2
.
4
.
2
[
,
の
次独立性]
C..
2
.
5
特性根が虚数である場合
C..
2
.
5
.
1
証明 (線形空間の議論に慣れている人向け)
C..
2
.
5
.
2
初等的な証明
C..
2
.
5
.
3
[任意の解は
,
の
次結合で書ける]
C..
2
.
5
.
4
[
,
の
独立性]
C..
3
まとめ
D. 初期値問題の基礎理論 (かけ足で説明)
D..
1
はじめに
D..
2
解の存在
D..
3
解の存在範囲 (爆発, 極大延長解)
D..
4
解の一意性
D..
5
まとめ
E. 初期値問題の解の存在と一意性の証明
E..
1
Lipschitz条件を仮定する場合
E..
1
.
1
Banach空間
E..
1
.
2
不動点, 縮小写像に関する不動点定理
E..
1
.
3
連続かつLipschitz条件を満たす場合の解の存在と一意性
E..
2
Lipshitz条件を仮定しない場合
F. 線形微分方程式の常識
F..
1
取り扱う方程式
F..
2
高階微分方程式の1階微分方程式への帰着
F..
3
解の存在と一意性
F..
4
同次方程式の解空間は線形空間
F..
5
線形同次方程式の解の1次独立性, Wronskianによる判定
F..
5
.
1
ロンスキアンを用いない方法
F..
5
.
1
.
1
(ii)
(i) の証明:
F..
5
.
1
.
2
(i)
(ii) の証明:
F..
5
.
1
.
3
(iii)
(ii) の証明:
F..
5
.
1
.
4
(ii)
(iii)の証明:
F..
6
線形同次方程式の解空間の次元
F..
7
定数係数高階単独線形常微分方程式
F..
8
線形非同次方程式の解空間の構造
F..
8
.
0
.
1
であることの証明
F..
8
.
0
.
2
であることの証明
G. 力学系についてのメモ
G..
1
力学系とは
G..
2
平衡点とは
G..
3
平衡点の安定性、漸近安定性
G..
4
線形安定性解析
G..
5
復習: 定数係数線形常微分方程式
H. 本文中の図の描き方
H..
1
図1 の描き方
H..
2
図2の描き方
H..
3
matplotlib で日本語タイトルを用いる
I. 微分多項式についての注意
I..
1
個人的な見解・意見
I..
2
高橋 [1] の記述を検討する
参考文献
この文書について...
桂田 祐史
全体に延長できることと中立安定性の証明
![$ C([a,b];\mathbb{R})$](img15.png){kind=small}
