1 有限区間上の積分

$$I=\int_{-1}^1 f(x)\,\Dx$$

に対しては

$$\varphi(t)\DefEq\tanh\left(\frac{\pi}{2}\sinh t\right) \quad\mbox{($t\in\R$)}$$

とおいて、変数変換 $x=\varphi(t)$ を施す。

$$\varphi'(t)=\frac{\pi}{2}\frac{\cosh t}{\cosh^2(\pi/2 \sinh t)}$$

であり、もちろん

$$\lim_{t\to\pm\infty}\varphi(t)=\pm 1\quad\mbox{(複号同順)},\quad \lim_{t\to\pm\infty}\varphi'(t)=0.$$

念のため公式を書いておくと

$$I_h=\frac{\pi}{2}h\sum_{n=-\infty}^{\infty} f\left(\tanh \... ...n h\right)\right) \frac{\cosh n h}{\cosh^2(\pi/2 \sinh n h)}.$$