5 Gauss 型公式

(注意: この節は書きかけ。)

重みも分点もすべてパラメーターとした Gauss 型の公式について説明する。これは直交多項式の零点として分点が定められ、精度が極めて高い。

ここでは区間の Gauss-Legendre の公式のみ。上の実数値連続関数の空間に

$\begin{displaymath} \langle{f},{g}\rangle =\int_{-1}^1 f(x)g(x)\,\Dx \end{displaymath}$

で内積を導入する。

$\begin{jlemma}[Legendre 多項式の直交性]\upshape $n$\ 次の Legendre 多... ... \quad \langle{p_n},{p_n}\rangle =\frac{2}{2n+1}. \end{displaymath}\end{jlemma}$

$\begin{jcorollary}[Legendre 多項式の漸化式]\upshape \begin{displaymath} (n+1)p_{n+1}(x)=(2n+1)xp_n(x)-np_{n-1}(x). \end{displaymath}\end{jcorollary}$

$\begin{jlemma}[Christoffel-Darboux の定理]\upshape \begin{equation} \sum_{k=... ...) \\ p_{n+1}(y)& p_{n}(y) \end{array} \right\vert. \end{equation}\end{jlemma}$

$\begin{jlemma}[選点直交性]\upshape $p_n(x)=0$\ の根を $x_1$, $\cdots$, ... ...aymath} \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)p_k(x_i)p_k(x_j)=0. \end{displaymath}\end{jlemma}$