2 証明

( $j=0,1,\cdots,n$ ), さらに

$\begin{displaymath} \eps_j\DefEq \int_{x_j}^{x_{j+1}}f(x)\,\Dx-\frac{h}{2}\left(f(x_j)+f(x_{j+1})\right). \end{displaymath}$

とおくと

$\begin{displaymath} I-T_n=\sum_{j=1}^n \eps_j. \end{displaymath}$

ゆえに上の補題から

$\begin{displaymath} -\frac{b-a}{12}h^2 \max_{y\in[a,b]}f''(\xi)\le I-T_n \le -\frac{b-a}{12}h^2 \min_{y\in[a,b]}f''(\xi). \end{displaymath}$

これから明らかである。

以下の二つの命題もほぼ同様に証明できる。

$\begin{jproposition}[複合中点則の誤差]\upshape $f\colon[a,b]\to\R$\ が... ...=1}^n f\left(a+\left(j-\half\right)h\right). \end{displaymath}\end{jproposition}$

$\begin{jproposition}[複合 Simpson 則の誤差]\upshape $f\colon[a,b]\to\R$\ ... ...=1}^{m-1} f\left(a+2jh\right)+f(b) \right). \end{displaymath}\end{jproposition}$

桂田祐史