A.5.4 直交多項式の作る Strum 列

(まあここは単なる覚え書き。後で肉付けするかもしれない。)

$w\colon [a,b]\to\mathbb{R}$ は連続で、有限個の点で 0 になる他は正で、

$$\sup_{k\in\mathbb{N}}\int_a^b x^k w(x) \Dx<\infty$$

を満たすような関数とする。このとき $[a,b]$ 上の実数値連続関数全体の集合に

$$(u,v)_w:= \int_a^b u(x)v(x) w(x) \Dx$$

で定義される内積を導入して、内積空間としたものを $H_w(a,b)$ とする。

関数列 $\{1,x,\cdots,x^n\}$ から Gram-Schimidt の直交化法によって得ら れる直交多項式系を $\{p_0(x),p_1(x),\cdots,p_n(x)\}$ とする。