A.5.3 3重対角行列の固有多項式と Strum 列

$$T=\left( \begin{array}{ccccc} a_1 & b_1 & 0 & & \bigzerou \\ ... ...} & a_{N-1} & b_{N-1} \\ \bigzerol & & 0 & b_{N-1} & a_N \end{array} \right)$$

を実対称三重対角行列とする。

$b_k\ne 0$ ( $k=1,2,\cdots,N-1$) と仮定する。もしある $k$ に対して $b_k\ne 0$ ならば

$$T = \left(\begin{array}{cc}T' & O O & T''\end{array}\right)$$

となり、$T'$, $T''$ の固有値を求める問題に帰着できるから、一般性は失 われない。

$p_k(\lambda)$ を $\lambda I-T$ の第 $k$ 主座行列式とする ( $k=0,1,\cdots,N$)。すなわち

$$p_k(\lambda):= \left\{ \begin{array}{ll} \det(\lambda I_k-T_k) & \mbox{($k=1,2,\cdots,N$)} 1 &\mbox{($k=0$)} \end{array} \right. .$$ (A.7)

ただし、

$$I_k=$$$$\mbox{$k$ 次の単位行列}$$$$,\quad T_k=\left( \begin{array}{ccccc} a_1 & b_1 & 0 & & \bigz... ... & a_{k-1} & b_{k-1} \\ \bigzerol & & 0 & b_{k-1} & a_k \end{array} \right).$$

すぐ分かる命題を二つ。

証明. 行列式の行に関する展開定理を用いる。$\qedsymbol$ $\qedsymbol$

証明.

1. もしも $p_k(\lambda_0)=p_{k+1}(\lambda_0)=0$ とすると、漸化式から ${b_k}^2p_{k-1}(\lambda_0)=0$. $b_k=0$ と仮定したから $p_{k-1}(\lambda_0)=0$. これを繰り返すと
   $$0=p_{k+1}(\lambda_0)=p_k(\lambda_0)=p_{k-1}(\lambda_0)=\cdots =p_{2}(\lambda_0)=p_1(\lambda_0)=p_0(\lambda_0).$$
   これから
   $$p_0(\lambda_0)=0$$
   これは $p_0\equiv 1$ に矛盾する。
2. $p_k(\lambda_0)=0$ を漸化式に代入すると $p_{k+1}(\lambda_0)=-{b_k}^2 p_{k-1}(\lambda_0)$. 前項より左辺 $\ne 0$. これから $p_{k+1}(\lambda_0)$, $p_{k-1}(\lambda_0)$ は異符号である。 $\qedsymbol$
3. $p_0(\lambda)\equiv 1$ であるから明らか。
4. 漸化式

   $$p_{k}(\lambda)= (\lambda-a_{k})p_{k-1}(\lambda)-{b_{k-1}}^2 p_{k-2}(\lambda)$$ (A.8)

   
   
   を微分すると、

   $$p_{k}'(\lambda)= p_{k-1}(\lambda)+(\lambda-a_{k})p_{k-1}'(\lambda) -{b_{k-1}}^2p_{k-2}'(\lambda).$$ (A.9)

   
   

   (A.8) と (D.5) から

   $$p_{k}'(\lambda)p_{k-1}(\lambda)-p_{k}(\lambda)p_{k-1}'(\lambda) =... ...)p_{k-2}(\lambda)-p_{k-1}(\lambda)p_{k-2}'(\lambda) \right) +p_{k-1}^2(\lambda)$$ (A.10)

   
   
   が得られる。ここで
   $$q_{k}(\lambda) := p_{k}'(\lambda)p_{k-1}'(\lambda) -p_{k}(\lambda)p_{k-1}(\lambda)$$
   とおくと (A.10) は
   $$q_{k}(\lambda)=p_{k-1}(\lambda)^2 +\beta_{k-1}(\lambda)^2q_{k-1}(\lambda)$$   $$\mbox{($k=2,3,\cdots,N$)}$$$$.$$
   となる。ところで
   $$q_1(\lambda)=p_{1}'(\lambda)p_{0}(\lambda) -p_{1}(\lambda)p_{0}'(\lambda) =p_{1}'(\lambda)=1\cdot1-(\lambda-\alpha_1)\cdot 0=1>0$$
   であるから、以下帰納的に
   $$q_k(\lambda)>0$$   $$\mbox{($k=2,3,\cdots,N$)}$$$$.$$
   特に
   $$q_{N}(\lambda)=p_{N}'(\lambda)p_{N-1}(\lambda) -p_{N}(\lambda)p_{N-1}'(\lambda)>0$$
   であるが、 $p_N(\lambda)=0$ であるから
   $$p_{N}'(\lambda)p_{N-1}(\lambda)>0. \quad\qed$$

$\qedsymbol$