A.4 Bairstow Hitchcock の方法

$n$ 次代数方程式

$$p_n(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n,\quad a_0\ne 0,\quad n\ge 2$$

が与えられたとき、$2$ 次の因数 $x^2-u x-v$ を求めることを考える。

$$p_n(x)=(x^2-u x-v)(b_0 x^{n-2}+b_1 x^{n-3}+\cdots+b_{n-2})+b_{n-1}(x-u)+b_n$$

とおいて、係数を比較すると

$$\left\{ \begin{array}{ll} b_0=a_0 & b_1=a_1+u b_0 & b_k=a_k+u b_{k-1}+v b_{k-2} & \mbox{($k=2,3,\cdots,n$)} \end{array} \right.$$ (A.4)

が得られる。$b_k$ は $(u,v)$ の関数と考えられるが、我々が 求めたいものは $b_{n-1}=b_n=0$ となるような $(u,v)$ である。 そこで $u$, $v$ に関する連立1次方程式

$$b_{n-1}(u,v)=0,\quad b_{n}(u,v)=0$$

であると考えることができる。これを Newton 法により解くのが ベアストウ・ヒッチコックの方法である。詳しい計算手順は省略する。 例えば森 [21] に載っている。