D..3 平衡点の安定性、漸近安定性

つまり、任意の正の数 $\eps$ に対して、 $a$ に十分近いところから出発した任意の解は、 $a$ から距離 $\eps$ の範囲に止まる、ということである。

(私が学生で、このあたりのことを勉強したとき、「リャプノフの意味で」 というのを見て、「そうでない意味で安定というのは、例えばどういうの？」 と気になった。 でもそういうのを目にすることはなく、 最近は「リャプノフの意味で」というのは省略されるのが多くなった。 時間が経って、言葉が定着したということなのだろう。)

判定法として、次の定理が使われることが非常に多い。

「ヤコビ行列って何ですか？」 (学生が持っている教科書の索引にヤコビ行列がない…ぶつぶつ ) $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $a\in\Omega$, $f\colon\Omega \to\mathbb{R}^m$ は微分可能とするとき、 $f$ の $a$ におけるヤコビ行列とは、$m\times n$ 型の 行列

$$f'(a)=\left(\frac{\rd f_i}{\rd x_j}(a)\right)$$

のことをいう。

力学系 $\frac{\D x}{\D t}=f(x)$ においては $m=n$ であることに注意しよう (微分方程式の左辺は $n$ 次元, 右辺は $m$ 次元なので)。 ゆえに $f'(a)$ は $n$ 次正方行列で、(重複度を込めて) $n$ 個の固有値を持つ。 行列 $f'(a)$ の成分は実数であるが、固有値には虚数が現れることもある。

この定理が、$n=1$ の場合にも使えることを注意しておく。 $n=1$ のとき、$f$ の $a$ におけるヤコビ行列は、 $f$ の $a$ における微分係数 $f'(a)\DefEq \dsp\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ そのものである。 またその固有値は、$f'(a)$ (これは実数) である (一般に実数 $A$を、$1\times 1$ 型の実行列とみなすとき、 $Ax=\textcolor{red}{A}x$ が $x=1$ に対して成り立つので、 $\textcolor{red}{A}$ は $A$ の固有値で、$1$ が固有ベクトルである。)。

ゆえに、定理を $n=1$ の場合に限定すると、 「$f'(a)<0$ ならば $a$ は漸近安定、$f'(a)>0$ならば $a$ は不安定」 ということになる。