2.2 微分作用素の因数分解あるいは連立1階微分方程式への帰着

$p$, $q\in\C$, $f\colon I\to\C$ とするとき、

$$y''+p y'+q y=f(x)$$ (1)

を考える。 特性方程式 $\lambda^2+p\lambda+q=0$ の根を $\alpha$, $\beta$ とする。 すなわち $\lambda^2+p\lambda+q=(\lambda-\alpha)(\lambda-\beta)$.

$$v:=\frac{\D y}{\D x}-\beta y$$

とおくとき、

$$y''+p y'+q y=f(x)\quad\LongIff\quad \frac{\D v}{\D x}-\alpha v=f(x).$$

実際、

$$\frac{\D v}{\D x}-\alpha v =\frac{\D}{\D x}\left(\frac{\D y}{\D x... ...D x^2}-\left(\alpha+\beta\right)\frac{\D y}{\D x} +\alpha\beta y =y''+p y'+q y$$

であるから¹。

つまり、(1) は、連立微分方程式

$$\frac{\D y}{\D x}-\beta y=v,$$ (2)

$$\frac{\D v}{\D x}-\alpha v=f(x)$$ (3)

に帰着される。

ゆえに、 $y$ が (1) の解であれば、 $v$ は (3) の解であるから、 1階微分方程式の解の公式 (系 2.3) によって

$$v(x)=v(x_0)e^{\alpha(x-x_0)}+\int_{x_0}^x e^{\alpha(x-t)}f(t)\;\Dt.$$ (4)

一方 $y$ は (2) の解でもあるから、 やはり系 2.3 によって

$$y(x)=y(x_0)e^{\beta(x-x_0)}+\int_{x_0}^x e^{\beta(x-t)}v(t)\;\D t.$$ (5)

(5) に (4) を代入し、 $v(x_0)=y'(x_0)-\beta y(x_0)$ を使って整理すると

$$y(x) =y(x_0)e^{\beta(x-x_0)} +\int_{x_0}^x e^{\beta(x-t)} \left( v(x_0)e^{\alpha(t-x_0)} +\int_{x_0}^t e^{\alpha(t-s)}f(s)\;\D s \right)\D t$$

$$=y(x_0)e^{\beta(x-x_0)} +\left(y'(x_0)-\beta y(x_0)\right) \int_{... ..._0}^x e^{\beta(x-t)} \left( \int_{x_0}^t e^{\alpha(t-s)}f(s)\;\D s \right)\D t.$$

これで (1) の解が得られた。 以下、この結果を整理する。 右辺の3項を順に $I(x)$, $J(x)$, $K(x)$ とおくと、 簡単な計算で、

$$I(x_0)=y(x_0),\quad I'(x_0)=\beta y(x_0),$$

$$J(x_0)=0,\quad J'(x_0)=y'(x_0)-\beta y(x_0)$$

が分かるので、 $w(x):=I(x)+J(x)$ とおくとき、

$$w(x_0)=y(x_0),\quad w'(x_0)=\beta y(x_0)+y'(x_0)-\beta y(x_0)=y'(x_0).$$

$w$は、 $f\equiv 0$ とした同次微分方程式の解であるから、 初期値問題

$$\frac{\D^2 w}{\D x^2}+p\frac{\D w}{\D x}+q w=0,\quad w(x_0)=y(x_0),\quad w'(x_0)=y'(x_0)$$

の解であることが分かる。 ゆえに $K$ は

$$\frac{\D^2 K}{\D x^2}+p\frac{\D K}{\D x}+q K=f(x),\quad K(x_0)=0,\quad K'(x_0)=0$$

の解である。

積分の順序を交換すると

$$K(x)=\int_{x_0}^x \left( \int_s^{x} e^{\beta(x-t)} e^{\alpha(t-s)} \D t \right)f(s) \D s.$$

内側の積分は

$$\int_s^{x} e^{\beta(x-t)} e^{\alpha(t-s)} \D t =\left\{ \begin{a... ...ne\beta$)}\\ (x-s)e^{\alpha(x-s)} &\mbox{($\alpha=\beta$)} \end{array}\right.$$

となるので、

$$G(x):= \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}... ...\alpha\ne\beta$)} x e^{\alpha x} &\mbox{($\alpha=\beta$)} \end{array} \right.$$ (6)

とおくと、

$$K(x)=\int_{x_0}^x G(x-s)f(s)\;\D s.$$

実はこの $G$ を用いると、

$$J(x)=(y'(x_0)-\beta y(x_0))G(x-x_0)$$

と書き直せる。