2.2 微分作用素の因数分解あるいは連立1階微分方程式への帰着

$ p$, $ q\in\C$, $ f\colon I\to\C$ とするとき、

(1) $\displaystyle y''+p y'+q y=f(x)$

を考える。 特性方程式 $ \lambda^2+p\lambda+q=0$ の根を $ \alpha$, $ \beta$ とする。 すなわち $ \lambda^2+p\lambda+q=(\lambda-\alpha)(\lambda-\beta)$.

$\displaystyle v:=\frac{\D y}{\D x}-\beta y
$

とおくとき、

$\displaystyle y''+p y'+q y=f(x)\quad\LongIff\quad
\frac{\D v}{\D x}-\alpha v=f(x).
$

実際、

$\displaystyle \frac{\D v}{\D x}-\alpha v
=\frac{\D}{\D x}\left(\frac{\D y}{\D x...
...D x^2}-\left(\alpha+\beta\right)\frac{\D y}{\D x}
+\alpha\beta y
=y''+p y'+q y
$

であるから1

つまり、(1) は、連立微分方程式

(2)   $\displaystyle \frac{\D y}{\D x}-\beta y=v,$
(3)   $\displaystyle \frac{\D v}{\D x}-\alpha v=f(x)$

に帰着される。

ゆえに、 $ y$ が (1) の解であれば、 $ v$ は (3) の解であるから、 1階微分方程式の解の公式 (系 2.3) によって

(4) $\displaystyle v(x)=v(x_0)e^{\alpha(x-x_0)}+\int_{x_0}^x e^{\alpha(x-t)}f(t)\;\Dt.$

一方 $ y$ は (2) の解でもあるから、 やはり系 2.3 によって

(5) $\displaystyle y(x)=y(x_0)e^{\beta(x-x_0)}+\int_{x_0}^x e^{\beta(x-t)}v(t)\;\D t.$

(5) に (4) を代入し、 $ v(x_0)=y'(x_0)-\beta y(x_0)$ を使って整理すると

    $\displaystyle y(x)$ $\displaystyle =y(x_0)e^{\beta(x-x_0)} +\int_{x_0}^x e^{\beta(x-t)} \left( v(x_0)e^{\alpha(t-x_0)} +\int_{x_0}^t e^{\alpha(t-s)}f(s)\;\D s \right)\D t$
      $\displaystyle =y(x_0)e^{\beta(x-x_0)} +\left(y'(x_0)-\beta y(x_0)\right) \int_{...
..._0}^x e^{\beta(x-t)} \left( \int_{x_0}^t e^{\alpha(t-s)}f(s)\;\D s \right)\D t.$

これで (1) の解が得られた。 以下、この結果を整理する。 右辺の3項を順に $ I(x)$, $ J(x)$, $ K(x)$ とおくと、 簡単な計算で、

$\displaystyle I(x_0)=y(x_0),\quad I'(x_0)=\beta y(x_0),
$

$\displaystyle J(x_0)=0,\quad J'(x_0)=y'(x_0)-\beta y(x_0)
$

が分かるので、 $ w(x):=I(x)+J(x)$ とおくとき、

$\displaystyle w(x_0)=y(x_0),\quad
w'(x_0)=\beta y(x_0)+y'(x_0)-\beta y(x_0)=y'(x_0).
$

$ w$は、 $ f\equiv 0$ とした同次微分方程式の解であるから、 初期値問題

$\displaystyle \frac{\D^2 w}{\D x^2}+p\frac{\D w}{\D x}+q w=0,\quad
w(x_0)=y(x_0),\quad w'(x_0)=y'(x_0)
$

の解であることが分かる。 ゆえに $ K$

$\displaystyle \frac{\D^2 K}{\D x^2}+p\frac{\D K}{\D x}+q K=f(x),\quad
K(x_0)=0,\quad K'(x_0)=0
$

の解である。

積分の順序を交換すると

$\displaystyle K(x)=\int_{x_0}^x
\left(
\int_s^{x}
e^{\beta(x-t)} e^{\alpha(t-s)} \D t
\right)f(s) \D s.
$

内側の積分は

$\displaystyle \int_s^{x}
e^{\beta(x-t)} e^{\alpha(t-s)} \D t
=\left\{
\begin{a...
...ne\beta$)}\\
(x-s)e^{\alpha(x-s)} &\mbox{($\alpha=\beta$)}
\end{array}\right.
$

となるので、

(6) $\displaystyle G(x):= \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}...
...\alpha\ne\beta$)} x e^{\alpha x} &\mbox{($\alpha=\beta$)} \end{array} \right.$

とおくと、

$\displaystyle K(x)=\int_{x_0}^x G(x-s)f(s)\;\D s.
$

実はこの $ G$ を用いると、

$\displaystyle J(x)=(y'(x_0)-\beta y(x_0))G(x-x_0)
$

と書き直せる。

桂田 祐史