A..1 剰余項を積分で書くTaylorの定理

$$e_0(x):=1$$   ($x\in\R$)$$,\quad e_{j}:=e_{j-1}* e_0$$   $j\in\N$

とすると (上と番号が$1$ずれている)、

$$e_j(x)=\frac{x^j}{j!},\quad e_j(0)=0,\quad e_j'=e_{j-1}.$$

$\dfrac{\D}{\D t}\left(-e_{j}(x-t)\right)=e_{j-1}(x-t)$ であるから、

$$g*e_{j-1}(x) =\int_0^x e_{j-1}(x-t)g(t)\;\D t =\left[-e_{j}(x-t)g(t)\right]_{t=0}^{t=x}+\int_0^x e_{j}(t)g'(t)\;\D t$$

$$=-g(x)e_{j}(0)+g(0)e_{j}(x-0)+\int_0^x g'(t)e_{j}(t)\;\Dt$$

$$=g(0)e_j(x)+g'*e_{j}(x).$$

すなわち

$$\star g*e_{j-1}=g(0)e_{j}+g'*e_{j}.$$

微分積分学の基本定理 $f(x)=f(0)+\dsp\int_0^x f'(t)\;\D t$ は、 $f=f(0)+f'* e_0$ と書けるので、($\star$) を続けて用いて

$$f =f(0)+f'*e_{0}$$

$$=f(0)+f'(0)e_1+f''*e_1$$

$$=f(0)+f'(0)e_1+f''(0)e_2+f'''*e_2$$

$$=\cdots$$

$$=f(0)+f'(0)e_1+f''(0)e_2+\cdots+f^{(n-1)}(0)e_{n-1}+f^{(n)}*e_{n}.$$

これは

$$f(x)=\sum_{j=0}^n f^{(j)}(0)e_j(x)+f^{(n)}*e_{n-1}(x) =\sum_{j=0}^n\frac{f^{(j)}(0)}{j!}x^j +\int_0^x f^{(n)}(t)\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\Dt$$

を意味している。