結果の式が簡単になるように、 適当な初期条件を課した初期値問題の解を求めよう。
を なる定数として、
(5) |
この初期値問題の解は
であることを示そう。
まずエネルギー保存則 (4) から
( をつけるべきかもしれないが、 であるから、 が小さいうちはこの微分方程式に従うはずである。)
これは変数分離形の微分方程式である。天下りであるが、
(7) |
より
(多分、(4) を、 に関する微分方程式に変換する、 とやればもっとすっきりした議論になるのでしょう。いつか書き直そう。)
これから
これは、Jacobi の楕円関数 を用いると ( であるから)
と解ける。ゆえに
(8) |
桂田 祐史