C.2 直交射影のちょっと変わった定義

結局 $y$ が $x$ の $V$ の上への直交射影であるという条件は、

$$y\in V, x-y\in V^\perp$$

となる (本文と同じ)。

(C.1) を満たす $y$ , $z$ は もし存在するならば一意に決まる。実際

$$x=y+z=y'+z',\quad y,y'\in V,\quad z,z'\in V^\perp$$

とすると、

$$y-y'=z'-z$$

で左辺は $V$ に、右辺は $V^\perp$ に属しているから、 自分自身に直交するので、0 でしかありえない:

$$y-y'=z'-z=0.$$

ゆえに

$$y=y',\quad z=z'.$$