4.8 射影定理

一意性は簡単なので存在だけ示す。

$$\delta=\inf_{z\in V}\Vert x-z\Vert$$

とおくと、点列 $(y_n)_{n\in\N}\in V^\N$ で

$$\Vert x-y_n\Vert\to \delta$$   $$\mbox{($n\to\infty$)}$$

を満たすものが存在する。中線定理より

$$2(\Vert x-y_n\Vert^2+\Vert x-y_m\Vert^2) =\Vert(x-y_n)+(x-y_m)\Ve... ..._m)\Vert^2 =4\left\Vert x-\frac{y_n+y_m}{2}\right\Vert^2+\Vert y_m-y_n\Vert^2.$$

$$0\le\Vert y_m-y_n\Vert^2 =2(\Vert x-y_n\Vert^2+\Vert x-y_m\Vert^2... ...n+y_m}{2}\right\Vert^2 \le 2(\Vert x-y_n\Vert^2+\Vert x-y_m\Vert^2)-4\delta^2.$$

$n$ , $m\to\infty$ のとき、 右辺$\to 2(\delta^2+\delta^2)-4\delta^2=0$ に収束するので、 $\{y_n\}_{n\in\N}$ は Cauchy 列である。ゆえに

$$\lim_{n\to\infty} y_n=y$$

が存在する。$V$ が閉であることから $y\in V$ . またもちろん

$$\Vert x-y\Vert=\min_{z\in V}\Vert x-z\Vert.$$

最後に $x-y\perp V$ を確かめよう。 任意の $h\in V$ に対して、

$$f(\theta)=\Vert x-y-\theta h\Vert^2$$

は $\theta=0$ で最小値 $\delta$ を取る。ゆえに $f'(0)=0$ . ところが

$$f(\theta)=\Vert x-y\Vert^2-2\theta{\rm Re\;}(x-y,h)+\theta^2\Vert h\Vert^2$$

より

$$f'(0)=-{\rm Re\;}(x-y,h)$$

であるから

$${\rm Re\;}(x-y,h)=0.$$

$h$ の代りに $i h$ を用いると

$$0={\rm Re\;}(x-y,ih)={\rm Re\;}(-i(x-y),h)={\rm Im\;}(x-y,h).$$

ゆえに

$$(x-y,h)=0.$$

これが任意の $h\in V$ について成り立つことから $x-y\in V^\perp$ . $\qedsymbol$

$\qedsymbol$