1.4 良く出てくるが名前を知らない不等式

(多くの本で $a^p+b^p\le (a+b)^p\le 2^p(a^p+b^p)$ という (緩い) 不等式が 使われている。 確かにその方が証明は簡単で、それで十分の場合がほとんどである。) $p=1$ のときは

$$a+b\le a+b\le a+b$$

という自明な式なので、以下 $p>1$ とする。 $b=0$ ならば、やはり

$$a^p\le a^p\le 2^{p-1}a^p$$

という自明な式になるので、以下 $b>0$ とする。 関数 $f\colon [0,\infty)\to\R$ を

$$f(x)=\frac{x^p+b^p}{(x+b)^p}$$

で定義する。

$$\begin{eqnarray*} f'(x) &=&\frac{(x+b)^p\cdot p x^{p-1}-p(x+b)^{p-1}\cdot (x^p... ...&\frac{p b(x+b)^{p-1}}{(x+b)^{2p}} \left(x^{p-1}-b^{p-1}\right) \end{eqnarray*}$$

であるから、$f$ は $b$ で最小値を取ることが分かる。

$$f(0)=\frac{b^p}{b^p}=1, \quad f(b)=\frac{b^p+b^p}{(b+b)^p}=\frac{2b^p}{2^p b^p}=2^{1-p},$$

$$\lim_{x\to \infty}f(x) =\lim_{x\to \infty} \frac{1+\left(\frac{x}{b}\right)^p} {\left(1+\frac{b}{x}\right)^p}=1$$

であるから、

$$2^{1-p}\le f(x)\le 1.$$

ゆえに

$$2^{1-p}\le \frac{x^p+b^p}{(x+b)^p}\le 1.$$

分母を払って

$$x^p+b^p\le (x+b)^p\le 2^{p-1} (x^p+b^p). \qed$$