3 Minkowski の不等式

$f$, $g$ が $L^p(X)$ に属するならば $f+g$ もそうなることは、

$$\vert f+g\vert^p\le (\vert f\vert+\vert g\vert)^p\le 2^{p-1}(\vert f\vert^p+\vert g\vert^p)$$

という簡単な評価から分かるが、$L^p$ ノルムが凸不等式

$$\Vert f+g\Vert _{L^p}\le \Vert f\Vert _{L^p}+\Vert g\Vert _{L^p}$$

を満たすことの証明には、より精密な議論、すなわち Hölder の不等式を使う。

$p=1$ または $p=\infty$ のときは明らか。以下 $1<p<\infty$ とする。 $p$ の共役指数を $q$ とするとき、$(p-1)q=p$ となることに注意すると ¹、

$$\begin{eqnarray*} \int_{X}\vert f(x)+g(x)\vert^p\D\mu(x) &=& \int_{X}\vert f(x... ...ht)^{1/q} \left(\int_{X}\vert g(x)\vert^p\D\mu(x)\right)^{1/p}. \end{eqnarray*}$$

割り算して

$$\left(\int_{X}\vert f(x)+g(x)\vert^p\D\mu(x)\right)^{1-1/q}... ...^{1/p} +\left(\int_{X}\vert g(x)\vert^p\D\mu(x)\right)^{1/p}.$$

$1-1/q=1/p$ に注意すれば、

$$\left(\int_{X}\vert f(x)+g(x)\vert^p\D\mu(x)\right)^{1/p} ... ...} +\left(\int_{X}\vert g(x)\vert^p\D\mu(x)\right)^{1/p}. \qed$$