であるとき、
,
は1次独立である
(したがって (3) の解の基本系になる)。
これは両者の級数表示を見て、
のときの増大度を考えても容易に証明できるが、
次の補題からも分かる。
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ロンスキアンの等式から想像できることだが、
のとき
,
は1次従属になる。
これは容易に確かめられる関係
から明らかである。
さて、
いよいよ第二種ベッセル関数 (ノイマン関数ともいう)
を導入しよう。
まず
の場合に
とおく。 これは
さらに
に対して広義一様収束極限
が存在する。そこで
とおくと、 これも (3) の解であるが、 (5) より8
であるから、
以上をまとめると次の定理が得られる。
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桂田 祐史