3.7 for 文による繰り返し (2) 応用: 級数の和

級数の和

$$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$$

を計算するための定跡がある。

$$S_0=0$$

と約束すれば

$$S_i=S_{i-1}+a_i$$   $$\mbox{($i=1,2,\dots,n$)}$$

という漸化式が成り立つ。これから次の手順を得る。

$S_n=\sum_{i=1}^n a_i$ の計算手順

(1)

部分和 $S_i$ を記憶しておく変数 s を定義する。

(2)

s = 0;

(3)

s = s + $a_i$; を $i=1,2,\dots,n$ について繰り返す。

次のプログラムは、与えられた自然数 $n$ に対して $1^2+2^2+\cdots+n^2$ を計算して表示するものである。

prog07.c

/*
 * prog07.c --- for 文による繰り返し (2)
 */

#include <stdio.h>

int main(void)
{
  int i, n;
  double s;

  printf("自然数を一つ入力してください: ");
  scanf("%d", &n);

  s = 0.0;
  for (i = 1; i <= n; i++) {
    /* 次の文では s に i を加えている。これは s = s + i * i; とも書ける。 */ 
    s += i * i;
  }
  printf(" 1 から %d までの自然数の平方の和=%g\n", n, s);
  return 0;
}

後の練習問題にしておいた、 $S_n=\dsp\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ を計算するプログラムを自力で 書いてみると良い。 ヒント: 一般項 $a_k=1/k!$ も漸化式で計算すると都合が良い。 「漸化式を使って計算しよう」 という 資料を準備しておいた。