2 差分法の復習

対応する線形問題は、 $1$ 次元 Poisson 方程式の Dirichlet 境界値問題である。

$$-u''(x) =f(x) \mbox{($x\in(0,1)$)} ,$$ (1)

$$u(0) =u(1)=0.$$ (2)

$h=1/N$, $x_i=i h$, $u_i=u(x_i)$, $f_i=f(x_i)$ ( $i=0,1,2,\cdots,N$) とおき、 $u_i$ の近似値 $U_i$ を差分法で求めることにする。

$$A= \frac{1}{h^2} \left( \begin{array}{rrrrr} 2 & -1 & & &\big... ...\left( \begin{array}{c} f_1 f_2 \vdots f_{N-1} \end{array} \right)$$

とおくと、差分方程式は

$$A \vec U=\vec f$$

になる ( $u''(x)\fallingdotseq \dfrac{u(x+h)-2u(x)+u(x-h)}{h^2}$ がポイント)。