2.2.2 極限の推定

数列 $\{a_n\}_{n\in\N}$ について、極限 $\lim_{n\to\infty}a_n$ について 知りたい場合（極限が存在するかどうか？その値は？）、実際に数列の多くの項 を次々に計算していくことで、ある程度の推定が出来ることがあります。

関数の極限 $\dsp\lim_{x\to\alpha}f(x)$ についても、 $x_n\to\alpha$ と なる数列 $\{x_n\}_{n\in\N}$ を適当に選んで、数列 $\{f(x_n)\}_{n\in\N}$ の極限を調べることで、それなりの情報が得られます。

次のプログラムでは $\dsp\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ を「見る」 ためのものです。

example3.c

/* example3.c -- 数列の極限を推測する */

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main()
{
    int k, n;
    double x;

    printf("x を 0 に近付ける時の sin(x)/x の値を調べます\n");
    printf("n=");
    scanf("%d", &n);

    printf("     x        sin(x)/x\n");
    for (k = 0; k < n; k++) {
        /* x = 2^{-k} */
        x = pow(0.5, (double)k);
        printf("%12e %12e\n", x, sin(x) / x);
    }
    return 0;
}

ここでは $x=x_n=\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^n$, $n=1,2, \cdots,12$ に対して $\dsp\frac{\sin x}{x}$ を計算しています。

実行結果

oyabun%	./example3
x を 0 に近付ける時の sin(x)/x の値を調べます
n=12
     x        sin(x)/x
1.000000e+00 8.414710e-01
5.000000e-01 9.588511e-01
2.500000e-01 9.896158e-01
1.250000e-01 9.973979e-01
6.250000e-02 9.993491e-01
3.125000e-02 9.998372e-01
1.562500e-02 9.999593e-01
7.812500e-03 9.999898e-01
3.906250e-03 9.999975e-01
1.953125e-03 9.999994e-01
9.765625e-04 9.999998e-01
4.882812e-04 1.000000e+00
oyabun%