楕円領域でのラプラシアン

楕円領域

$$\left\{ (x,y)\in\R^2; \frac{x^2} {a^2}+\frac{y^2}{b^2}<1 \right\}$$

を等角写像で円盤に移せれば簡単だが、 具体的な写像関数は分からなかった。Joukovski 変換は外部領域だしね。 そこで

$$x=a r \cos\theta,\quad y = b r \sin\theta$$

という変数変換でうまくいかないかと考えたが、 この変数変換での Laplacian の表示を求めるのは手計算ではかなりしんどい (また間違えやすい)。 試しに Mathematica で計算してみて「これは結構大変そうだ」と分かった (http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/2004/ellipse.pdf を参照せよ)。 これは最初からこちらが教えてやるべきだったかもしれない (一人でどんどん進めてしまうので、 試しに少し放っておいてみようと考えたのだが…)。 問題そのものは面白いので、 また新たな挑戦者が出て来ることを期待する。 $\qedsymbol$