5.6 渡部隆行『棒の振動』

一様な棒が振動するとき、変位 $u=u(x,t)$ は、適当な単位を選択した場合、 微分方程式

$$u_{tt}+u_{xxxx}=0$$   $$\mbox{($(x,t)\in(0,\pi)\times(0,\infty)$)}$$

に従う。 この方程式の初期値境界値問題の研究をテーマとした。 これは波動方程式に少し似ていて、 有名な Cournat-Hilbert にも取り上げられている。

境界条件としては次のいずれかを考える。

(a)

両端固定境界条件

$$u(0,t)=u_x(0,t)=u(\pi,t)=u_x(\pi,t)=0 \mbox{($t\in(0,\infty)$)}$$ (1)

(b)

両端支持境界条件

$$u(0,t)=u_{xx}(0,t)=u(\pi,t)=u_{xx}(\pi,t)=0 \mbox{($t\in(0,\infty)$)}$$ (2)

(c)

両端自由境界条件

$$u_x(0,t)=u_{xx}(0,t)=u_x(\pi,t)=u_{xx}(\pi,t)=0 \mbox{($t\in(0,\infty)$)}$$ (3)

これらは「対称性の条件」を満たしていることが分かる。例えば、 $\varphi,\psi$ が固定境界条件

$$\varphi(0)=\varphi'(0)=\varphi(\pi)=\varphi'(\pi)=0,\quad \psi(0)=\psi'(0)=\psi(\pi)=\psi'(\pi)=0,$$

を満たしているのならば、

$$\left(A\varphi,\psi\right)=(\varphi,A\psi)$$

が成り立つ。ここで微分作用素 $A$ と内積 $(\cdot,\cdot)$ は、

$$A f:=f'''',\quad (f,g):=\dsp\int_0^{\pi}f(x)\overline{g(x)}\Dx$$

で定義されるものとする。 これから、固有値が実数であることと、 異なる固有関数に属する固有関数が互いに直交することが分かる。

$$u(x,0)=\phi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x)$$   $$\mbox{($x\in[0,\pi]$)}$$

(a) の場合の固有値は、方程式

$$\cos\nu=\frac{1}{\cosh \nu}$$

の正の解である。それを大きさの順に

$$\nu_1<\nu_2<\cdots$$

と並べたとき、 $\nu_n\kinji n+1/2$ ($n\in\N$ ). 固有値 $\nu$ に属する固有関数は

$$\varphi(x)=...$$

である。

(b) の場合の固有値は $\nu_n=n$ ($n\in\N$ ) であり、それに属する固有関数は

$$\varphi(x)=\sin n x$$

である。

(c) の場合の固有値は、方程式

$$\cos\nu=\frac{1}{\cosh \nu}$$

の正の解である。それを大きさの順に

$$\nu_1<\nu_2<\cdots$$

と並べたとき、 $\nu_n\kinji n+1/2$ ($n\in\N$ ). 固有値 $\nu$ に属する固有関数は

$$\varphi(x)=..$$