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,
という 2 つの独立変数についての関数
についての方
程式
(1) |
 |
は
次元波動方程式 (wave equation) と呼ばれる2(ここで
は与えられた正の定数)。それは、この方程式が,一様な弦の振
動や,細い管の中の空気の振動などの、
次元的な振動・波動現象を表わすも
のであると解釈出来るからである。弦の振動の場合は
は時刻
における、弦上の点
の釣り合いの位置からの変位を表わすものと考える。
実は定数
は波の伝播の速さになるが、以下では時刻の単位を適当に取
り替える (数学的には
を新たに
とする変数変換を行う) ことによっ
て
であるとして扱う3。同時に空間方向につい
ても同様の変数変換を施すことによって
,
と仮定することも出来
る。
この方程式は、時刻
での各部分の変位と「速度」を指定することに
相当する初期条件
(2) |
 |
(3) |
 |
と、各時刻での弦の両端の状態を指定する境界条件を課すことにより、解
が決定される問題となる。境界条件としては、両端が固定されていて (管の中
の空気の振動の場合では「端が閉じられていて」) 変位が常に 0 であると
いう
(4D) |
 |
あるいは、両端で自由に動ける(管の中の空気の振動の場合では「端が開放さ
れている」)という
(4N) |
 |
を考える。熱伝導方程式の場合と同様に (4D) を Dirichlet境界条件、(4N)
を Neumann 境界条件と呼ぶ。
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Masashi Katsurada
平成19年7月21日