A. 弦の固有振動

両端を固定した長さ $\ell$ の弦の変位 $u(x,t)$

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty \left(a_n\cos\frac{cn\pi t}{\ell}+b_n\sin\frac{cn\pi t}{\ell}\right) \sin\frac{n\pi x}{\ell}$$

簡単のため、長さ $\ell$ は $1$, また弦は時刻 $t=0$ で静止しているとすると、

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(cn\pi t)\sin(n\pi x).$$

固有振動 $a_n\cos(cn\pi t)\sin(n\pi x)$ の和で表されている。 $n=1,2,3$ の場合に固有振動がどのようなものか、見てみよう。

c=1; L=1; u[n_, x_, t_] := Sin[n Pi x/L] Cos[c n Pi t/L]

Animate[Table[
  Plot[{u[n, x, 0], u[n, x, t]}, {x, 0, L}, PlotRange -> {-1, 1}],
    {n, 1, 3}], {t, 0, 2L/c, 0.01}]