以下の線積分の値を求めよ。
(1)
() とするとき
(2)
, ,
,
(
) とするとき
(3) 0 から に至る線分を とするとき
(4) 単位円 の下半分を から までたどる曲線を とする
とき
(5) 図の正方形の周を反時計回りに一周する曲線を とするとき
,
z=t+I t^2; I1=Integrate[Re[z]D[z,t],{t,0,1}] z=c+r Exp[I t]; I2=Integrate[1/(z-c) D[z,t],{t,0,2Pi}] I2a=Integrate[1/(z-c)^n D[z,t],{t,0,2Pi}] z=(1+I)t; I3=Integrate[Im[z] D[z,t],{t,0,1}] z=Exp[I t]; I4=Integrate[Conjugate[z] D[z,t],{t,Pi,2Pi}] z1=t; z2=1+I*t; z3=1+I-t; z4=I-I*t; I5=Integrate[Abs[z1]D[z1,t],{t,0,1}]+Integrate[Abs[z2]D[z2,t],{t,0,1}] +Integrate[Abs[z3]D[z1,t],{t,0,1}]+Integrate[Abs[z4]D[z2,t],{t,0,1}] f[z_] := z^2 + 3 z + 4 I6 = Integrate[f[z1] D[z1, t], {t, 0, 1}] + Integrate[f[z2] D[z2, t], {t, 0, 1}] + Integrate[f[z3] D[z3, t], {t, 0, 1}] + Integrate[f[z4] D[z4, t], {t, 0, 1}] |
答は (1) (2) のとき , のとき (3) (4) (5) (6)
Mathematica は、(5) の を ArcSinh[1] と表示する。 TrigToExp[] を施すと で表示してくれる。
In[ ]:= TrigToExp[ArcSinh[1]]
Out[ ]= Log[1+] |