11 線積分の験算

以下の線積分の値を求めよ。
(1) $C\colon z=t+it^2$ ($t\in[0,1]$) とするとき $I_1=\dsp\int_{C}\MyRe z\;\Dz$      (2) $c\in\mathbb{C}$, $r>0$, $n\in\mathbb{N}$, $C\colon z=c+re^{i\theta}$ ( $\theta\in[0,2\pi]$) とするとき $I_2=\dsp\int_C\dfrac{\D z}{(z-c)^n}$     (3) 0 から $1+i$ に至る線分を $C$ とするとき $I_3=\dsp\int_C \MyIm z\;\D z$     (4) 単位円 $\vert z\vert=1$ の下半分を $-1$ から $1$ までたどる曲線を $C$ とする とき $I_4=\dsp\int_C\overline{z}\;\D z$     (5) 図の正方形の周を反時計回りに一周する曲線を $C$ とするとき $I_5=\dsp\int_C\left\vert z\right\vert\Dz$, $I_6=\dsp\int_{C}\left( z^2+3z+4\right)\Dz$

z=t+I t^2;
I1=Integrate[Re[z]D[z,t],{t,0,1}]

z=c+r Exp[I t];
I2=Integrate[1/(z-c) D[z,t],{t,0,2Pi}]
I2a=Integrate[1/(z-c)^n D[z,t],{t,0,2Pi}]

z=(1+I)t;
I3=Integrate[Im[z] D[z,t],{t,0,1}]

z=Exp[I t];
I4=Integrate[Conjugate[z] D[z,t],{t,Pi,2Pi}]

z1=t;
z2=1+I*t;
z3=1+I-t;
z4=I-I*t;
I5=Integrate[Abs[z1]D[z1,t],{t,0,1}]+Integrate[Abs[z2]D[z2,t],{t,0,1}]
 +Integrate[Abs[z3]D[z1,t],{t,0,1}]+Integrate[Abs[z4]D[z2,t],{t,0,1}]

f[z_] := z^2 + 3 z + 4
I6 = Integrate[f[z1] D[z1, t], {t, 0, 1}] + 
  Integrate[f[z2] D[z2, t], {t, 0, 1}] + 
  Integrate[f[z3] D[z3, t], {t, 0, 1}] + 
  Integrate[f[z4] D[z4, t], {t, 0, 1}]

答は (1) $I_1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}i$     (2) $n=1$ のとき $I_2=2\pi i$, $n\ne 1$ のとき $I_2=0$     (3) $I_3=\dfrac{1+i}{2}$    (4) $I_4=\pi i$     (5) $I_5=\dfrac{i-1}{2}\left(\sqrt{2}-1+\log(1+\sqrt{2})\right)$     (6) $I_6=0$

Mathematica は、(5) の $\log(1+\sqrt{2})$ を ArcSinh[1] と表示する。 TrigToExp[] を施すと $\log$ で表示してくれる。

In[ ]:= TrigToExp[ArcSinh[1]]
Out[ ]= Log[1+$\sqrt{2}$]